ЗАДАЧІ З ЕЛЕМЕНТАМИ ДОСЛІДЖЕННЯ

     Медулич В. В.

Суттєвим недоліком шкільних підручників з математики є мала кількість задач творчого характеру. Як правило, їх збирають в окремий розділ в кінці підручника і вони слабо пов’язані з поточним навчальним матеріалом. До того ж ці матеріали призначені для невеликої кількості учнів що готуються до математичних олімпіад. Деякою компенсацією цього недоліку можуть стати задачі з елементами дослідження. Наприклад, в п’ятому класі корисно розглянути задачу:

ЗАДАЧА 1. З пункту А одночасно вирушили мотоцикліст і велосипедист. Яка відстань буде між ними через 3 години, якщо велосипедист рухався зі швидкістю 14 км/год, а мотоцикліст зі швидкістю 38 км/год?

В умові не вказаний напрям руху велосипедиста й мотоцикліста, тому учні досліджують два випадки:

1) рух тіл в одному напрямі;

2) рух тіл в різних напрямах.

 Цю задачу можна модифікувати й розглянути при вивченні теореми Піфагора у восьмому класі:

ЗАДАЧА 2. У пункті А дві траси перетинаються під прямим кутом. З цього пункту одночасно вирушили автомобіль зі швидкістю 80 км/год і автобус зі швидкістю 60 км/год. Яка відстань буде між ними через 3 години?

Дослідивши умову, учні мають розглянути три ситуації:

1) рух тіл в одному напрямі;

2) рух тіл в різних напрямах;

3) рух тіл під прямим кутом одне до одного.

 При вивченні теореми косинусів у дев’ятому класі можна запропонувати ще одну модифікацію цієї задачі:

ЗАДАЧА 3. У пункті А дві траси перетинаються під кутом 60°. З цього пункту одночасно вирушили автомобіль зі швидкістю 80 км/год і автобус зі швидкістю 50 км/год. Яка відстань буде між ними через 4 години?

Досліджуючи умову, учні виявляють чотири випадки:

1) рух тіл в одному напрямі;

2) рух тіл в різних напрямах;

3) рух тіл під кутом 60° одне до одного;

4) рух тіл під кутом 120° одне до одного.

 Різноманітні варіанти цих задач, а також обернені задачі, що розв’язуються за допомогою рівнянь чи їх систем, можна розглянути в дев’ятому класі в розділі „Елементи прикладної математики”.

Багато можливостей для розгляду задач, умови яких допускають кілька випадків, дає геометричний матеріал.

Сьомий клас.

Суміжні й вертикальні кути.

ЗАДАЧА 4. Сума двох кутів, утворених в результаті перетину двох прямих, дорівнює 86°. Знайти ці кути.

Два кути, утворені при перетині двох прямих, можуть бути або вертикальними, або суміжними. Досліджуючи кожний з цих випадків, учні приходять до висновку, що суміжними ці кути не можуть бути, бо їх сума не дорівнює 180°.

Властивість кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною.

ЗАДАЧА 5. Сума двох внутрішніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 122°. Знайти ці кути.

Два внутрішні кути, утворені при перетині двох паралельних прямих січною, можуть бути різносторонніми або односторонніми. Розглядаючи ці випадки, учні приходять до висновку, що односторонніми ці кути не можуть бути, бо їх сума не дорівнює 180°.

Рівнобедрений трикутник.

ЗАДАЧА 6.    Сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 4 см і 5 см. Знайти його периметр.

Оскільки в умові не вказано яка з сторін є бічною, а яка є основою, то учні розглядають два випадки:

1)   якщо більша сторона є основою, то Р=5+4*2=13(см);

2)   якщо менша сторона є основою, то Р=4+2*5=14(см).

ЗАДАЧА 7.    Сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 3 см і 7 см. Знайти його периметр.

На перший погляд, як і в попередній задачі, маємо два розв’язки, але трикутник з бічною стороною 3 см і основою 7 см не існує, бо 3+3<7. Таким чином, розв’язок у цій задачі один, хоча обов’язково треба розглянути обидва випадки.

Сума кутів трикутника.

ЗАДАЧА 8. Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 74°. Знайти решту кутів трикутника.

1)           якщо даний кут лежить при основі, то інші кути дорівнюють 74° і 32°;

2)           якщо даний кут є кутом між бічними сторонами, то інші кути дорівнюють по 53°.

   Доцільно після цієї задачі розв’язати таку:

  ЗАДАЧА 9. Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 91°. Знайти решту кутів трикутника.

Аналізуючи умову, учні мають відкинути випадок, коли даний кут є кутом при основі, оскільки він суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

Зовнішній кут трикутника.

ЗАДАЧА 10. Один із зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника у 3 рази більший від одного з внутрішніх кутів. Знайти внутрішні кути трикутника.

При розв’язуванні цієї задачі необхідно розглянути 4 випадки:

1)              зовнішній кут при вершині кута між бічними сторонами в 3 рази більший від внутрішнього, суміжного з ним;

2)              зовнішній кут при вершині кута між бічними сторонами в 3 рази більший від внутрішнього, несуміжного з ним кута;

3)              зовнішній кут при вершині кута при основі в 3 рази більший від внутрішнього, суміжного з ним;

4)              зовнішній кут при вершині кута при основі в 3 рази більший від внутрішнього кута між бічними сторонами.;

Один з чотирьох випадків виявляється неможливим, а три інші приводять до результатів: 1) 67,5°, 67,5° і 45°; 2) 45°, 45° і 90°; 3) 72°, 72°, 36°.

ЗАДАЧА 11. Кут між висотою і бісектрисою рівнобедреного трикутника, проведеними з вершини кута при основі дорівнює 30°. Знайти кут між бічними сторонами трикутника.

Задачу розбиваємо на два випадки:

1)              якщо бісектриса проходить між висотою і бічною стороною, то шуканий кут дорівнює 20°;

2)              якщо бісектриса проходить між висотою і основою, то шуканий кут дорівнює 100°.

Введення параметра часто розбиває задачу на кілька випадків:

Восьмий клас.

Чотирикутники.

ЗАДАЧА 13. Бісектриса кута А прямокутника ABCD ділить протилежну сторону ВС на відрізки 5 см і 7 см. Знайти периметр прямокутника.

Перпендикулярність і похила.

ЗАДАЧА 14. Довжина відрізка АВ=25 см. Його кінці віддалені від прямої а на 4 см і на 11 см. Знайти проекцію відрізка АВ на цю пряму.

В даній задачі різні випадки виникають через те, що точки А і В можуть лежати в одній півплощині або в різних півплощинах відносно прямої  а. У першому випадку проекція дорівнює 24 см, а в другому – 20 см.

Задачі, які вимагають розгляду різних випадків спонукають учнів глибше проникати в навчальний матеріал і викликають в дітей підвищений інтерес, бо в них є певна несподіванка.

Нижче пропонуються кілька десятків подібних задач, які доцільно використати на уроках при вивченні відповідних тем.

Додаткові задачі.

Суміжні й вертикальні кути.

1.           Один з двох кутів, утворених в результаті перетину двох прямих, на 34° більший від іншого. Знайти ці кути. Відповідь: 73° і 107°.

2.           Два кути, утворені в результаті перетину  двох прямих, відносяться, як 2:3. Знайти ці кути. Відповідь: 72° і 108°.

3.           Різниця двох кутів, утворених в результаті перетину двох прямих, дорівнює 30°. Знайти їх суму. Відповідь: 180°.    

 Властивість кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною.

4.           Різниця двох внутрішніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 28°. Знайти ці кути. Відповідь: 76° і 104°.

5.           Один з двох кутів, утворених в результаті перетину двох паралельних прямих січною, в 3 рази більший від іншого. Знайти ці кути. Відповідь: 45° і 135°.

 Рівнобедрений трикутник.

6.           Одна сторона рівнобедреного трикутника дорівнюють 8 см, а інша в 1,2 рази більша від неї. Знайти периметр трикутника. Відповідь: 25,6см або 27,2 см.

7.           Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 56 см, а дві його сторони відносяться, як 2:3. Знайти сторони трикутника. Відповідь: 16 см, 16 см, 24 см або 21 см, 21 см, 14 см.

8.           Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 54 см, а дві його сторони відносяться, як 5:2. Знайти сторони трикутника. Відповідь: 22,5 см, 22,5 см, 9 см.

9.           Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 18 см. Одна сторона більша від другої на 3 см. Знайти сторони трикутника. Відповідь: 5 см, 5 см, 8 см або 7 см, 7 см, 4 см.

10.       Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 12,6 см. Знайти сторони трикутника, якщо вони відносяться, як 8:5. Відповідь: 4,8 см, 4,8 см, 3 см або 3,5 см, 3,5 см, 5,6 см.

Сума кутів трикутника.

12.       Сума двох кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 100°. Знайти різницю цих кутів трикутника. Відповідь: 60° або 0°.

13.       Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо різниця двох його кутів дорівнює 45°. Відповідь: 45°, 45°, 90° або 75°, 75°, 30°.

14.       Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо сума двох із них дорівнює 104°. Відповідь: 76°, 76°, 28° або 52°, 52°, 76°.

15.       Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо сума двох із них дорівнює 86°. Відповідь: 43°, 43°, 94°.

16.       Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо два з них відносяться, як 4:7. Відповідь: 48°, 48°, 84° або 70°, 70°, 40°.

17.       Сума двох кутів рівнобедреного трикутника менша від 90°. Чому дорівнює різниця цих кутів? Відповідь: 0°. 

Зовнішній кут трикутника.

19.       Один із зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 100°, а один з внутрішніх дорівнює 40°. Знайти внутрішні кути трикутника. Відповідь: 40°, 60°, 80°.

Чотирикутники.

20.       Бісектриса кута А паралелограма ABCD ділить протилежну сторону ВС на відрізки у відношенні 2:3. Знайти сторони паралелограма, якщо його периметр 22,4 см.  Відповідь: 3,2 см, 8 см або 4,2 см, 7 см.

21.       У паралелограма ABCD сторона АВ=3,8 см, а бісектриса кута А ділить сторону ВС на відрізки, один з яких на 0,4 см більший від іншого. Знайти периметр паралелограма. Відповідь: 23,6 см або 22 см.

22.       Висота ВК ромба АВСD утворює зі стороною АВ кут 20°. Знайти кут КВD. Відповідь: 35° або 55°.

Газета "Математика", № 19, травень 2006